ネイピア数の数値計算

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ネイピア数e=2.71828…を計算機で数値計算しました。使用したプログラミング言語はPythonで、試した計算方法は約20通りです。計算方法、ソースコード、出力結果をPDFファイルにまとめました。ネイピア数eは数学において普遍的な定数なので、今回紹介した計算方法以外にも数多くの手法があると思います。
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数値計算の様子

方法Bの出力結果

Pythonのプログラムは、数列を第1項, 第2項, 第3項,…と順に計算していきます。例として、方法Bの出力結果を示します。表の各行は数列の各項を表しており、01行目が数列の第1項, 02行目が数列の第2項, 03行目が数列の第3項,…となっています。数列の値は、小数点以下100桁を表示しました。数列の計算が進むにつれて、数列の値がネイピア数e=2.71828…に近づいていることが分かります。数列の各項で、ネイピア数eの真値に一致する部分を黄色で塗りました。したがって表の黄色部分の面積が広いほど、数列の収束速度が速いと言えます。

全計算手法の出力結果まとめ

次に, 全計算手法の出力結果まとめを示します。表の各行はそれぞれの手法に対応しており、上から方法A, 方法B, …, 方法Lとなっています。各手法の数列の第30項を記載しました。各手法で黄色部分の長さが全く異なります。つまり、手法によって収束速度が全く異なります。方法L及び方法Aの収束速度は遅いです。一方、方法F11及び方法Eの収束速度は速いです。

参考資料

下記のWikipediaの記事では、ネイピア数eに関する数式が数多く紹介されています。とても参考になりますが、出典が明記されていない箇所がいくらかあります。
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_representations_of_e

作成: 藤原大樹
更新: 2020年10月3日

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