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エックハルト読書会

毎週土曜午後4時から開催している『エックハルト説教集』(岩波文庫)のオンライン読書会(予習なし、その場で輪読)ですが、今週は学会参加のため出席できないメンバーが多いので、一回お休みにします。次回は7月17日(土)、p.95「自分の魂を憎むということについて」からです。新たにご参加希望の方は kyotoacademeia@gmail.com (担当:舟木)までご連絡ください。試しに一回だけ参加・ときどきの参加も歓迎です。

 

円周率公式の証明(改訂版)

以前の記事「円周率公式の証明」がパワーアップして帰ってきました。前回と同じ技法を駆使して、合計で10個の数学公式を証明しました。内容は2つのPDFファイル、改訂版と追加分に分かれています。

改訂版

改訂版では、次の8つの円周率公式のうち7個を証明しました。最後の1つは, 残念ながら私の実力では証明できませんでした。

\[
\pi = 2 \sqrt{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}.
\]

\[
\pi = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{9^n} \left( \frac{3}{4n+1} – \frac{1}{4n+3} \right).
\]

\[
\pi = \frac{3\sqrt{3}}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{8^n} \left( \frac{2}{3n+1} + \frac{1}{3n+2} \right).
\]

\[
\pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^n} \left( \frac{2}{4n+1} + \frac{2}{4n+2} + \frac{1}{4n+3} \right).
\]

\[
\pi = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{8^n} \left( \frac{4}{6n+1} + \frac{1}{6n+3} + \frac{1}{6n+5} \right).
\]

\[
\pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{16^n} \left( \frac{4}{8n+1} – \frac{2}{8n+4} – \frac{1}{8n+5} – \frac{1}{8n+6} \right).
\]

\[
\pi = \frac{2\sqrt{3}}{27} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{81^n} \left( \frac{27}{8n+1} – \frac{9}{8n+3} + \frac{3}{8n+5} -\frac{1}{8n+7} \right).
\]

\[
\pi = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{16^n} \left( \frac{8}{8n+2} + \frac{4}{8n+3} + \frac{4}{8n+4} – \frac{1}{8n+7} \right).
\]

改訂版のPDFファイル

追加分

追加で次の3つの数学公式を証明しました。

\[
\log \left( 1 – \frac{1}{\sqrt{3}} \right)
= – \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^n.
\]

\[
\log (2 + \sqrt{3})
= \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n(2n+1)}.
\]

\[
\pi = – 3 \log \left( 2 + \sqrt{3} \right) + 4 \sqrt{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{9^n(4n+1)}.
\]

追加分のPDFファイル

作成: 藤原大樹
更新: 2021年6月22日

 

円周率公式の証明

次の2つの円周率公式を証明しました。

\[
\pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^n} \left( \frac{2}{4n+1} + \frac{2}{4n+2} + \frac{1}{4n+3} \right).
\]

\[
\pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{16^n} \left( \frac{4}{8n+1} – \frac{2}{8n+4} – \frac{1}{8n+5} – \frac{1}{8n+6} \right).
\]

証明に必要な知識はほぼ高校数学のみで、使用する大学数学はアークタンジェントの微分だけです。トリッキーな技法は使わず、ひたすら基本的な式変形を繰返します。そして、2つの公式は同じ流れで証明できます。

PDFファイル

作成: 藤原大樹
更新: 2021年6月21日

 

バーゼル問題

数学のバーゼル問題とは、平方数の逆数すべての和がいくらになるかという問題です。この問題は最初オイラーによって解かれました。
\[
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}
\]
近年Youtubeで、このバーゼル問題が中学数学だけで解けたと話題になっています。情報を整理するために、リンク集を作りました。

Youtuber河野玄斗さんによる解説。明快で分かりやすいです。

Youtuberタマキさんによる解説。丁寧な説明です。

このブームの発端となった動画です。絵が美しい。300万再生を超えており、人気があります。

一番の元ネタは、動画ではなく、次の2010年の論文です。

参考文献
Wästlund, J. (2010). Summing inverse squares by euclidean geometry. reason, 25(8), 2.
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf

作成: 藤原大樹
更新: 2021年6月1日

 

$\dfrac{\sin x}{x}$と円周率

$\dfrac{\sin x}{x}$の不等式を用いて、2つの手法で円周率を数値計算しました。必要な知識は、高校数学のみです。高校数学だけでもかなり高精度に円周率$\pi = 3.14159265 \dots$を求めることができました。

PDFファイル

グラフ

$\dfrac{\sin x}{x}$の不等式をグラフにプロットしました。手法1より手法2の不等式が高精度であることがうかがえます。

手法2の下限値

円周率$\pi = 3.14159265 \dots$が次第に求まっていく様子を表しています。

作成: 藤原大樹
更新: 2021年5月27日

 

京アカ会員業績

京都アカデメイア正会員の佐藤泰子さんが、新著『死生の臨床人間学―「死」からはじまる「生」―』(晃洋書房)を上梓されました。

「生きる意味 それは誰かとの間(あわい)ーー 安楽死・尊厳死、脳死・臓器移植、人口妊娠中絶、出生前検査、患者差別など、「死」と「生」の営為をつぶさに拾い、人と人が共に生きる在り方を示す」

装画・挿画を私(京アカインスタ係)が担当させていただきました。
コロナ禍の中「命の選別」などということが公然と言われるようになりつつある昨今、読まれるべき本だと思います。医療系や対人援助の領域を目指す若い方にもおすすめです。