はじめに

最近、数学パズルにハマっています。楽しいです。その奮闘状況を京アカTwitterで報告していました。皆様からいいねをたくさん頂き、予想外に反響が大きかったです。そのお陰でやる気が高まりました。皆様ありがとうございます。その一方で情報が溜まってくるにつれTwitterでは見ずらくなってきました。なので、これまでの情報をブログに整理します。

今回はとっておきの5題を紹介します。必要となる予備知識は中学生レベルなので、文系の皆様も楽しめると思います。解答は著作権の関係ですべてを記載することはできません。当ブログでは解答のエッセンスとなるヒントだけ示します。詳細な解答を知りたい方は申し訳ないですが、参考文献に当たって下さい。

あと、年明けからオンライン自習室を再開しているのですが、誰も来てくれません。寂しいです。誰か来てくれると嬉しいです。

問題1

[問題]
Show how to cut a cube to form a regular hexagon.
立方体から1枚の正6角形を切り出す方法は？

[出典]
文献[3]の問題3.4

[コメント]
理解を深めるために折紙で模型を作りました。
立方体の断面が確かに正6角形になっています。

問題2

[問題]
The famous number φ is called the golden ratio and is usually associated with a regular pentagon. Show how to construct φ using just an equilateral triangle.
黄金比φは正5角形に通常関連づけられる。黄金比φを1つの正3角形だけから構成する方法は？

[出典]
文献[3]の問題3.9

[コメント]
分からないので解答を見ちゃいました。

大ヒントは次の画像です。
2本の赤の線分に対してThe Intersecting Chords Theoremを適用すると？

 

問題3

[問題]
Show that the sum of the angles of a plane triangle is 180°.
平面において3角形の内角の和が180度であることを示せ.

[出典]
文献[3]の問題3.8

[コメント]
普通の証明は以下の図だと思います。

文献[3]の解答は、ピタゴラスによる普通の証明だけでした。
しかし、文献[4]では4つの証明が紹介されています。非常に勉強になりそうです。

問題4

[問題]
Each of three circles in the plane intersects the other two in exactly two points, giving exactly six distinct intersection points in all. Show that the common chords of each two circles are concurrent, that is, meet at a single point.
言葉で理解するよりも図で示します。

[出典]
文献[3]の問題3.3

[コメント]
この問題は文献[2]の264ページで見かけたことがあります.  証明が同じかどうか気になります.  まずは文献[2]を復習します.

文献[2]ではthe intersecting chords theorem（方べきの定理）を用いた幾何学的な証明が与えられていました。一方、文献[3]の証明は代数的でした。代数的な証明のヒントをメモしておきます。

問題5

[背景]
折紙でピタゴラスの定理（三平方の定理）を証明できるという情報をキャッチしました。ホントかどうか確かめるために文献[1]の13ページを読みます。

[問題]
正方形を切り離し、平行移動して並び替えて2つの面積の異なる正方形にするには、どうすればいいのか？

[コメント]
初見では分かりませんが、じっくり考えます。

分からなかったので解答を見ました。自分では絶対発見できません。皆様のために、ヒントの画像を置いておきます。

青色の直角三角形に関して、ピタゴラスの定理が成立します。
その理由は、元の正方形の面積と変形後の図形である2つの正方形の合計面積を比較すると同じだからです。
面白い証明です。今回初めて知りました。

参考文献

[1] 阿部恒. （2012）. すごいぞ折り紙入門編: 折り紙の発想で幾何を楽しむ. 日本評論社.

[2] Acheson,D. （2020）. The Wonder Book of Geometry: A Mathematical Story. OUP Oxford.

[3] MacHale,D. （2023）. Lateral Solutions to Mathematical Problems. CRC Press.

[4] Bogomolny,A. （2018）. Cut The Knot, Angles in Triangle Add to 180°.
https://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/AnglesInTriangle.shtml

作成: 藤原大樹
更新: 2024年2月17日