円周率公式の証明(改訂版)

以前の記事「円周率公式の証明」がパワーアップして帰ってきました。前回と同じ技法を駆使して、合計で10個の数学公式を証明しました。内容は2つのPDFファイル、改訂版と追加分に分かれています。

改訂版

改訂版では、次の8つの円周率公式のうち7個を証明しました。最後の1つは, 残念ながら私の実力では証明できませんでした。

\[
\pi = 2 \sqrt{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}.
\]

\[
\pi = \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{9^n} \left( \frac{3}{4n+1} – \frac{1}{4n+3} \right).
\]

\[
\pi = \frac{3\sqrt{3}}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{8^n} \left( \frac{2}{3n+1} + \frac{1}{3n+2} \right).
\]

\[
\pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^n} \left( \frac{2}{4n+1} + \frac{2}{4n+2} + \frac{1}{4n+3} \right).
\]

\[
\pi = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{8^n} \left( \frac{4}{6n+1} + \frac{1}{6n+3} + \frac{1}{6n+5} \right).
\]

\[
\pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{16^n} \left( \frac{4}{8n+1} – \frac{2}{8n+4} – \frac{1}{8n+5} – \frac{1}{8n+6} \right).
\]

\[
\pi = \frac{2\sqrt{3}}{27} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{81^n} \left( \frac{27}{8n+1} – \frac{9}{8n+3} + \frac{3}{8n+5} -\frac{1}{8n+7} \right).
\]

\[
\pi = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{16^n} \left( \frac{8}{8n+2} + \frac{4}{8n+3} + \frac{4}{8n+4} – \frac{1}{8n+7} \right).
\]

改訂版のPDFファイル

追加分

追加で次の3つの数学公式を証明しました。

\[
\log \left( 1 – \frac{1}{\sqrt{3}} \right)
= – \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^n.
\]

\[
\log (2 + \sqrt{3})
= \frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n(2n+1)}.
\]

\[
\pi = – 3 \log \left( 2 + \sqrt{3} \right) + 4 \sqrt{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{9^n(4n+1)}.
\]

追加分のPDFファイル

作成: 藤原大樹
更新: 2021年6月22日

 

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