今日は平面幾何学の”角の二等分線定理”を勉強しました。
この定理は、小学生でも知っている大変有名な定理です。
しかしながら、お恥ずかしい話ですが、今日産まれて初めて証明を知りました。
そこで理解を深めるために3つの証明をPDFファイルに要約しました。
どの証明も個性的でイラストを見ているだけで胸が躍ります。

PDFファイル

作成: 藤原大樹
更新: 2024年2月24日

はじめに

数学パズル（その1）の続編です。
今回は折紙パズルが多くなりました。
皆様、是非とも自分で考えて楽しんで下さい。

問題1

別の折紙パズルに挑戦します。

[問題]
正方形を2本の直線で切り離し、平行移動して並べ替えて正方形と同じ面積の長方形にするには、どうすればいいのか？
ただし、正方形の対角線≧作る長方形の長辺＞正方形の一辺とします。

[出典]
文献[1]の7ページ

[コメント]
ちょっとだけ考えました。
2本の直線を見つけるだけなので簡単と思えましたが、実体は難しそうです。
腰を落ち着けて取り組みたい問題です。

閃いて、自力で解くことができました。
ヒントの画像を置いておきます。

問題2

更なる折紙パズルを考えます。

[問題]
長方形を2本の直線で切り離し、平行移動して並べ替えて長方形と同じ面積の正方形にするには、どうすればいいのか？
ただし2回のカットで正方形ができるのは、長辺＜短辺×2の長方形用紙です。

[出典]
文献[1]の8ページ

[コメント]
超難問の気配を感じます。
まずはコピー用紙（白銀矩形）で考えると良いような気がします。

7ページの変形を逆に行えば、長方形から長方形を作成できそう。

さっぱり分からないので解答を見ちゃいました。

ヒントの画像を置いておきます。

カットするのは、2本の赤の線分です。

アルゴリズムの正当性は「2本の赤の線分が同じ長さかつ垂直に交わる」で保証されます。

この正当性の証明も自力では無理でした。

問題3

次は軽めの問題にします。
でも面白いと思います。

[問題]
コピー用紙（白銀矩形）を用いてタンジェント22.5°を求めよ。
白銀矩形とは長辺と短辺の比がルート2の長方形である。

[出典]
文献[2]

[コメント]
この問題は自力で解けました。嬉しい。
ヒントの画像を置いておきます。

ポイントは、青の3角形が2等辺3角形になることです。
赤の3角形に注目すると、タンジェント22.5°がルート２マイナス1となります。

問題4

ネットで凄いウワサをキャッチしました。
ルート2の無理数性を折紙で証明できるらしいです。
真偽を確かめたいと思います。

[問題]
折紙を用いて、ルート2が無理数であることを証明せよ.

[出典]
文献[3]の102ページ

[コメント]
ウワサは本当でした.

証明のポイントと画像をメモしておきます.

ルート2を有理数a/bと仮定する.
a, bはそれぞれ自然数である.
画像の通り折紙をする.

赤の3角形は元の3角形と相似なので,
ルート2 = （2b – a）/（a – b）となる.
1 < a/b < 2より, a > 2b-a > 0かつ b > a-b > 0が成立する.
よって, ルート2をa/b → （2b – a）/（a – b）とする代数的操作は有限回しか繰り返せない.
その一方で元の3角形から赤の3角形を折紙で構成する幾何学的操作は無制限に何回でも繰り返せる.
代数的操作と幾何学的操作の間に矛盾が生じる.
よってルート2は無理数である.

問題5

次は錯視を用いたパズルです.

[問題]
以下のサイトの画像にある立体図形をコピー用紙1枚で作成せよ.
https://www.cutoutfoldup.com/1102-impossible-flap-.php

[出典]
文献[4]の72ページ

[コメント]
うーん、悩ましいです。どうやったらこんな物を作れるんだ？

実際に工作をすると5分で解けました。

3本の赤の線分を切ります.
そして、横線を回転軸として紙を少しひねると完成です.
画像を見ているだけだと全く分かりませんが、実際に工作してみるとすぐ理解できます。

参考文献

[1] 阿部恒. （2012）. すごいぞ折り紙入門編: 折り紙の発想で幾何を楽しむ. 日本評論社.

[2] Bogomolny, A. （2018）. Cut The Knot, Tangent of 22.5° – Proof Without Words.
https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Tangent225.shtml

[3] Toth, G. （2021）. Elements of Mathematics: A Problem-Centered Approach to History and Foundations. Springer International Publishing.

[4] Jackson, P. （2013）. Cut & Fold Techniques for Promotional Materials. Laurence King Publishing.

作成: 藤原大樹
更新: 2024年2月22日

はじめに

最近、数学パズルにハマっています。楽しいです。その奮闘状況を京アカTwitterで報告していました。皆様からいいねをたくさん頂き、予想外に反響が大きかったです。そのお陰でやる気が高まりました。皆様ありがとうございます。その一方で情報が溜まってくるにつれTwitterでは見ずらくなってきました。なので、これまでの情報をブログに整理します。

今回はとっておきの5題を紹介します。必要となる予備知識は中学生レベルなので、文系の皆様も楽しめると思います。解答は著作権の関係ですべてを記載することはできません。当ブログでは解答のエッセンスとなるヒントだけ示します。詳細な解答を知りたい方は申し訳ないですが、参考文献に当たって下さい。

あと、年明けからオンライン自習室を再開しているのですが、誰も来てくれません。寂しいです。誰か来てくれると嬉しいです。

問題1

[問題]
Show how to cut a cube to form a regular hexagon.
立方体から1枚の正6角形を切り出す方法は？

[出典]
文献[3]の問題3.4

[コメント]
理解を深めるために折紙で模型を作りました。
立方体の断面が確かに正6角形になっています。

問題2

[問題]
The famous number φ is called the golden ratio and is usually associated with a regular pentagon. Show how to construct φ using just an equilateral triangle.
黄金比φは正5角形に通常関連づけられる。黄金比φを1つの正3角形だけから構成する方法は？

[出典]
文献[3]の問題3.9

[コメント]
分からないので解答を見ちゃいました。

大ヒントは次の画像です。
2本の赤の線分に対してThe Intersecting Chords Theoremを適用すると？

問題3

[問題]
Show that the sum of the angles of a plane triangle is 180°.
平面において3角形の内角の和が180度であることを示せ.

[出典]
文献[3]の問題3.8

[コメント]
普通の証明は以下の図だと思います。

文献[3]の解答は、ピタゴラスによる普通の証明だけでした。
しかし、文献[4]では4つの証明が紹介されています。非常に勉強になりそうです。

問題4

[問題]
Each of three circles in the plane intersects the other two in exactly two points, giving exactly six distinct intersection points in all. Show that the common chords of each two circles are concurrent, that is, meet at a single point.
言葉で理解するよりも図で示します。

[出典]
文献[3]の問題3.3

[コメント]
この問題は文献[2]の264ページで見かけたことがあります.  証明が同じかどうか気になります.  まずは文献[2]を復習します.

文献[2]ではthe intersecting chords theorem（方べきの定理）を用いた幾何学的な証明が与えられていました。一方、文献[3]の証明は代数的でした。代数的な証明のヒントをメモしておきます。

問題5

[背景]
折紙でピタゴラスの定理（三平方の定理）を証明できるという情報をキャッチしました。ホントかどうか確かめるために文献[1]の13ページを読みます。

[問題]
正方形を切り離し、平行移動して並び替えて2つの面積の異なる正方形にするには、どうすればいいのか？

[コメント]
初見では分かりませんが、じっくり考えます。

分からなかったので解答を見ました。自分では絶対発見できません。皆様のために、ヒントの画像を置いておきます。

青色の直角三角形に関して、ピタゴラスの定理が成立します。
その理由は、元の正方形の面積と変形後の図形である2つの正方形の合計面積を比較すると同じだからです。
面白い証明です。今回初めて知りました。

参考文献

[1] 阿部恒. （2012）. すごいぞ折り紙入門編: 折り紙の発想で幾何を楽しむ. 日本評論社.

[2] Acheson,D. （2020）. The Wonder Book of Geometry: A Mathematical Story. OUP Oxford.

[3] MacHale,D. （2023）. Lateral Solutions to Mathematical Problems. CRC Press.

[4] Bogomolny,A. （2018）. Cut The Knot, Angles in Triangle Add to 180°.
https://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/AnglesInTriangle.shtml

作成: 藤原大樹
更新: 2024年2月17日

『孫子』輪読会は本日で終了しました。ご参加下さったみなさま、ありがとうございました。
次に読む本は、樋口一葉『たけくらべ』となりました。京アカ輪読会では初の小説です。初回は11月4日（土）20：00～とします。

原文を輪読してゆく予定ですが、さすがに表現が古くわかりにくい個所もありそうなので、現代語訳も参照しつつ、という感じになるかと思います。
原文は各社から出ているうえ、青空文庫にも入っています。
https://www.aozora.gr.jp/cards/000064/files/389_15297.html

現代語訳は主だったところでは以下の三種類があるようです。

①松浦理恵子訳

②山口照美訳

③秋山佐和子訳

お問い合わせは kyotoacademeia@gmail.com まで！
失礼いたします。

シス単風の勉強法

英単語帳で語彙を増強しています。私はシステム英単語の方式で勉強しています。通常の単語帳では見出し語に例文がついていますが、シス単ではミニマルフレーズが採用されています。このミニマルフレーズを繰返し音読すると語彙力が格段に向上しました。この記事ではシス単風の英単語帳をレベルごとに整理しておきます。

ミニマルフレーズの例

中学生レベル

くもん出版, 中学英単語1800 （スーパーステップ）

高校生レベル

霜康司, システム英単語Basic<5訂版>, 駿台文庫

霜康司, システム英単語<5訂版>, 駿台文庫

投野由紀夫, チャンクで英単語 Basic 第2版, 三省堂

投野由紀夫, チャンクで英単語 Standard 第2版, 三省堂

投野由紀夫, チャンクで英単語 Advanced 第2版, 三省堂

アルク文教編集部, 改訂第2版キクタン【Basic】4000語レベル, アルク

アルク文教編集部, 改訂第2版キクタン【Advanced】6000語レベル, アルク

英検準1級レベル

植田一三, でる単語だけ大特訓 英検準1級TOP800, オープンゲート

植田一三, 英検準1級 必ず☆でる単 スピードマスター, Jリサーチ出版

霜康司, 英検準1級 単熟語 フレーズシステム, アスク

英検1級レベル

植田一三, でる単語だけ大特訓 英検1級TOP800, オープンゲート

一杉武史, 改訂版キクタン英検1級, アルク

植田一三, 英検1級完全攻略必須単語1750, 語研

TOEFL入門レベル

植田一三, TOEFLテスト必須語彙1200+分野別語彙800, オープンゲート

英検1級越えレベル

英検1級まではシス単方式の単語帳があるのですが、1級を超えるとなくなってしまいます。英検1級を復習しつつ、1級越えの勉強をしたい場合は下記の書籍がお勧めです。

Rich Carriero, 1100 Words You Need to Know 8th, Barrons Educational Services

更にもっと難しい単語帳があります。

Edward Fiske, Fiske WordPower 2nd, Sourcebooks

Chris Lele, The Vocabulary Builder Workbook, Zephyros Press

無限大レベル

市販の単語帳で満足できなくなった場合は、以下のWebサービスがお勧めです。ほぼ無限に英単語を覚えられます。なんと、無料です。

https://www.vocabulary.com/

作成: 藤原大樹
更新: 2023年9月28日

正会員の舟木です。
京アカオンライン輪読会では、9月2日（土）20：00より、『孫子』の輪読会をはじめます。毎週一回、二時間程度です。
訳本はたくさんありますが、学術的に信頼できて竹簡の新資料も加味した岩波文庫が良いかと思います。
予習不要、その場で輪読して議論という形式ですすめます。一回だけの参加・ときどきの参加も歓迎です。
以前に別の本のときに一回だけ参加された方も、気兼ねは要りませんので何度でもお試し参加なさってください。
門外漢大歓迎。どなたでも参加できます。なお、本は各自でご用意ください。
お問い合わせは kyotoacademeia@gmail.com まで！

新訂 孫子 （岩波文庫） | 治, 金谷 |本 | 通販 | Amazon

正会員の舟木です。

おかげさまで、アン・モロウ・リンドバーグ『海からの贈物』の輪読は昨日終了しました。ご参加下さった皆さん、有難うございました。

数学的な工作をしています.
ストローとラッピング用モールで正多面体を作成しました.
その写真と所感をPDFファイルにメモしました.

PDFファイル（約5メガバイト）

YouTubeに動画をアップロードしました.

作成: 藤原大樹
更新: 2023年6月21日